El cardenal Ortega, nació en Jagüey Grande, Provincia de Matanzas, el 18 de octubre de 1936. Su padre fue primero trabajador del Central azucarero vecino a su pueblo natal y después pequeño comerciante y su madre atendía las labores la casa y colaboraba en el comercio de la familia. A la edad de cinco años su familia se trasladó a la ciudad de Matanzas. Allí hizo sus estudios de primaria así como sus estudios de bachillerato en el Instituto de Segunda Enseñanza de Matanzas. Se graduó de Bachiller en Ciencias y Letras en 1955 y, después de un año de estudios universitarios, ingresó en el Seminario Diocesano San Alberto Magno, regido por los Padres de las Misiones Extranjeras de Quebec, en Matanzas. Después de los primeros cuatro años de estudios de humanidades y filosofía, fue enviado por su obispo al Seminario de Misiones Extranjeras de Montreal, Canadá, donde estudió la Teología.
Regresó a Cuba y fue ordenado sacerdote el 2 de agosto de 1964 en la Catedral de Matanzas. En 1967 es nombrado párroco de Jagüey Grande, su pueblo natal. En 1969 fue nombrado párroco en la Catedral de Matanzas, atendiendo a la vez la parroquia de Pueblo Nuevo, en la ciudad, y dos iglesias más del campo. Era al mismo tiempo presidente de la Comisión Diocesana de Catequesis y realizó un activo apostolado con los jóvenes de la diócesis. Fue profesor de Teología moral en el Seminario lnterdiocesano San Carlos y San Ambrosio de La Habana.
El 7 de diciembre de 1978 fue nombrado Obispo de Pinar del Río por Su Santidad el Papa Juan Pablo 11. Fue consagrado el 14 de enero de 1979, en la Catedral de Matanzas y el 21 de enero tomó posesión de la diócesis. q
Fue nombrado como arzobispo de San Cristobal de La Habana y el día 27 de diciembre de 1981 tomó posesión de su nueva sede.
Fue creado Cardenal por Su Santidad el Papa Juan Pablo II en el Consistorio del 26 de Noviembre de 1994. Fue recibido como Cardenal en la S.M.I. Catedral de La Habana el 11 de diciembre de 1994. Fue el segundo Cardenal de la Iglesia que ha tenido Cuba. El primero fue el Cardenal Manuel Arteaga y Betancourt (1879-1963) también arzobispo de La Habana.
Abrió una Casa Sacerdotal y la creación de un Casa Laical. Creó en el 2011 el Centro Cultural “P. Félix Varela”, un centro destinado a la formación del laicado. A él se debió la construcción en La Habana del nuevo local para el Seminario San Carlos y San Ambrosio. Confirió la ordenación presbiteral a más de 40 sacerdotes.
El Cardenal Ortega fue Vicepresidente del Consejo Episcopal Latinoamericano (CELAM), Presidente de la Conferencia de Obispos Católicos de Cuba en varios períodos y Consejero de la Pontificia Comisión para América Latina. Perteneció a las Congregaciones para el Clero y para la Pastoral Sanitaria. Fue laureado con doctorados Honoris Causa de las Universidades de St. Thomas y Berry en Miami Florida, de Providence, en Rhode Island, de la Universidad de San Francisco, el premio anual de la Fundación Bonino Pulejo de Messina, el Gaudium et Spes, de los Caballeros de Colón, y recibió el Doctorado Honoris Causa de la Universidad de Creighton, en los Estados Unidos y la Medalla de la Universidad Católica de Eichstätt, en Alemania.
Fue aceptada su renuncia como arzobispo de La Habana, por razones de edad, en 2011.
Ha fallecido en La Habana, en su casa, a las 6:20 am del día de hoy, 26 de julio de 2019. Sus funerales se oficiarán en la Catedral de La Habana, como corresponde a su dignidad de arzobispo emérito de esa Sede, el domingo 28 de julio a las 3:00 de la tarde. Convivencia se une a las plegarias de la Iglesia por su eterno descanso en la Casa del Padre.